Un estudio creativo sobre una nueva geometría o forma imposible.

El Cubo de Necker, el cual es la base para la creación de mi diseño de forma imposible, es una ilusión óptica publicada por primera vez en 1832 por el cristalógrafo suizo Louis Albert Necker.

El efecto de ambigüedad es creado por si mismo, hasta que el sistema perceptivo visual selecciona una interpretación.

Una figura imposible es una ilusión en la que un objetos que es físicamente irrealizable es, aparentemente, dibujado. Este tipo de figuras juega con nuestra percepción, dibujando en dos dimensiones objetos que sería imposible que existieran en tres dimensiones.

El cubo de Necker explica así, la construcción del "cubo imposible" sobre el cual se basa mi trabajo de diseño.

En su cubo, reconocemos la estructura de un cubo, dónde vemos proyectadas dos realidades diferentes: que esté más cerca o lejos del espectador.

Así mismo, si a las aristas del cubo les asignamos un volumen, podemos obligar al espectador a aceptar la interpretación deseada, obteniendo así la última figura.

Estudio de un sistema representativo y su fundamento matemático.

La geometría descriptiva

La geometría descriptiva es la ciencia que trata la manera de representar una figura de dos o tres dimensiones en un plano. El sistema básico dentro de esta geometría es el sistema diédrico.
Gaspard Monge, geómetra francés, fue quien codificó su estudio y mecanismo.
Asi mismo, nos valemos de dos planos proyectantes que forman entre sí un ángulo recto o ángulo perfecto de 90º.

El sistema diédrico.

El sistema diédrico es un sistema de representación geométrica de los elementos del espacio sobre dos planos. Reduce las tres dimensiones del espacio a las dos dimensiones del plano. Como no es representativo,cuando lo que se pretende dar una aparencia de realidad tridimensional al dibujo, se recurre a las perspectivas.
Toman así, los dos planos de proyección, uno vertical y otro horizontal, perpendiculares entre sí.

Las proyecciones, normalmente llamadas vistas empleadas son las siguientes:

-Alzado: objeto visto de frente

-Planta: objeto visto desde arriba

-Perfil: Objeto visto de lado.

El sistema diédrico es universalmente empleado en arquitectura y ingeniería, especialmente en planos de cotas y de despiece.

El sistema diédrico está basado en la proyección cilíndrica ortogonal de los objetos sobre dos planos de proyección que forman un diedro rectangular. En la figura de abajo vemos un triánfugo ABC que se proyecta sobre el plano vertical como A2B2C2  y sobre el plano horizontal como A1B1C1

El espacio queda dividido en cuatro partes iguales a las que llamamos diedros.

Para su representación en el plano ( la cual he mencionado anteriormente con el ejemplo del triángulo), tenemos que abatir el planto de proyección horizontal sobre el plano de proyección vertical utilizando como eje de giro la propria linea de tierra, obteniendo así un único elemento de referencia la LT.

 

Representación del punto.

En el sistema diédrico de representación, consiste en obtener las diferentes proyecciones de un elemento, en este caso de un punto, mediante la proyección de haces proyectantes perpendiculares a los planos de proyección. De modo que proyectando perpendicularmente el punto A sobre el plano de proyección Horizontal obtendremos la proyección horizontal del punto A (A1). Repitiendo la misma operación sobre el plano de proyección vertical, obtenemos la proytección vertical del punto A, que es A2, y lo mismo co la tercera proyección A3.

Representación de la recta.

La proyección de una recta sobre el plano, es otra recta. Esta recta está formada por la proyección de todos los puntos de la recta que se quiere proyectar. Una recta está definida cuando se conocen sus dos proyecciones, horizontal y vertical. Dónde la recta corta a los planos de proyección, tenemos sus trazas H (Horizontal) y V (vertical). H1 es la proyección horizontal de la traza horizontal, y la proyección vertical de la traza horizontal H2 se encuentra sobre la LT. Del mismo modo, V2, es la proyección vertical de la traza vertical de la recta, se le denomina traza vertical y la proyección horizontal de la traza vertical V1 está sobre la LT. De esta forma, la proyección vertical de la recta r2 queda definida al unir V2 con H2, y la proyección horizontal r1 al unir H1 con V1.

Representación del plano.

Las trazas de un plano son los vértices en los que ducho plano corta a P.H y P.V. Un plano tiene dos trazas, vertical (2) y horizontal (1). Como se indica el figura las dos trazas del plano siempre se han de cortar en un punto y en la linea de tierra.

Para que una recta pertenezca en un plano, es decir, esté contenida en él, es necesario que la traza vertical de la recta v2 esté sobre la traza vertical del plano 2, y del mismo modo de la traza horizontal de la recta h1 deberá estar sobre la traza horizontal del plano 1.

Lo difícil del sistema diédrico, es alcanzar el nivel de abstracción necesario para su entendimiento.

Representación de una pieza volumétrica en el sistema diédrico

• Debemos hacer un estudio lo más detallado posible de la pieza, asi mismo, decidiremos en qué posición la vamos a dibujar, eligiendo como "alzado" la vista que manifieste el mayor número de detalles y la mejor idea de la forma de la pieza. 
• Decidiremos el número de vistas necesarias para la determinación completa de la pieza. Dibujaremos la planta, debajo el alzado y si es preciso, un perfil. Dependiendo de la complejidad de la pieza, se dibujarán hasta un total de seis vistas.

Denominación de las vistas

A- Vista de frente o alzado

B- Vista por encima o planta superior

C- Vista desde la izquierda o perfil izquierdo

D- Vista desde la derecha o perfil derecho

E- Vista desde abajo o planta inferior

F- Vista por detrás o alzado posterior.

Elección de las vistas

La vista más característica del objeto debe elegirse como vista de frente o vista principal. Esta vista representa al objeto en su posición de utilización.

Las piezas utilizables en cualquier posición de representan preferentemente en su posición principal de mecanización o de montaje.

*La información recopilada en este blog (trabajo) no está completa. El sistema diédrico es un sistema muy complejo y con infinitas normas y detalles a tener en cuenta como para recopilarlos todos. Aquí encontramos las esenciales para su entendimiento y aplicación.

* El sistema diédrico y su relación con el diseño es otro de los temas que debería haber tocado. Realmente, el sistema diédrico no mantienen un relación directa con el diseño gráfico, pero si con el diseño industrial o de interiores, ya que ellos trabajan más con objetos tridimensionales y les interesa traspasarlos al plano.

Un trabajo sobre el equilibrio en la composición. Para ello se va a jugar con formas equivalentes y su ordenación. Cálculo integral para las áreas de las figuras.

- UN POCO DE HISTORIA

El primer uso de las integrales data del Antiguo Egipto (18oo a.C.) para el cálculo de volúmenes. Este concepto fundamental de las matemáticas fue perfilado y perfeccionado desde entonces por numeroros científicos. Sin embargo, los principales adelantos en integración llegaron a mediados del siglo XVII ( 1665) gracias a la elaboración del "teorema fundamental del cálculo" de Isaac Newton y Gottfried Leibniez. Este fallazgo fue individual, causando diversas disputas por la autoría del mismo. Finalmente, Cauchy, Riemman y Lebesgue formalizaron el sistema de cálculo de integrales empleando el uso de límites.

 -¿PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS INTEGRALES?

Básicamente, las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de curvas u volúmenes de cuerpos de resolución.

-  EJEMPLO PRÁCTICO DEL USO DE INTEGRALES

 >Por geometría sencilla

Un coche se mueve variando su velocidad a lo largo del tiempo siguiendo la trayectoria de la figura:

La integral es el cálculo del área que existe entre la función ( la línea naranja) y el eje de abscisas ( el eje X) entre dos intervalos cualesquiera ( en este caso, de tiempo ), siendo el área que queda por encima ( del eje X) positiva, y por debajo negativa.Si tomamos un intervalo cuya área podemos calcular por geometría básica, por ejemplo el intervalo de tiempo (0,5) segundos, comprobamos que se forma un rectángulo entre esos intervalos ( azul). Si calculamos el área de ese rectángulo, estamos hallando la integral de la función naranja entre el intervalo ( 0, 5) segundos.

Sabiendo que la área del rectángulo es base por altura, observamos en la gráfica que la base es 5 y la altura (-8). Aplicando la fórmula A=B · h = 5 · (-8) = -40
Gracias a la integral, hemos deducida que el coche se ha movido 40 metros hacia atrás de su punto de origen en los primeros 5 segundos.

>Suma de rectángulos infinitos 

Para el cálculo del área de la figura anterior, no encontraremos una forma geométrica cuyo cálculo conozcamos y que se adapte fácilmente a la función. La alternativa que encontramos es, aun que no exacta, por ejemplo formar rectángulos ( cuya área conocemos) de diferentes tamaños que se adapten lo máximo posible a la gráfica.

De esta manera, podríamos hacer un cálculo aproximado del área, pero no sería exacto.  Si observamos la figura, cuantos más rectángulos utilicemos, más se aproximará el área de todos estos rectángulos al área de la gráfica. Si tomamos infinitos rectángulos, estaremos hallando la integral de esa función y por tanto su área.

Fórmula para el cálculo de integrales:

RESUMIENDO, UNA INTEGRAL ES LA SUMA DE LOS PUNTOS INFINITOS, DETERMINANDO EL ÁREA.

EXPLICACIÓN DEL TRABAJO DE DISEÑO

DEFINICIÓN DE LOGOTIPO ABSTRACTOS:

El diseñador tiene campo libre para estos tipos de logotipos. Puede diseñar una "forma estructural que cree una ilusión óptica variada". Alternativamente, puede emplear ese logotipo para transmitir la fuerza industrial del producto y la sensación de movimiento asociada con su función.

Su popularidad se debe en parte, por la naturaleza diversificada de muchas de las grandes corporaciones estadounidenses. Ese movimiento se vio reforzado gracias al éxito de los negocios japoneses en Occidente, pues los logotipos aparentemente abstractos de las empresas japonesas han funcionado bien en el mercado. 

La utilización de logotipos abstractos por parte de empresas triunfadoras y dinámicas los han puesto muy de moda. A menuda estos son considerados ahora como representativos de la quinta esencia del diseño contemporáneo de marcas y logotipos.

DISEÑO FINAL

La integral de uno de los rombos incorporados en el diseño del logotipo ha sido realizada anteriormente, dónde el resultado es 40. Multiplicando por los 4 rombos empleado, obtendremos que el área total de la imagen del logotipo es 160. Con el fin de lograr una composición equilibrada, el rectángulo dónde se puede subscribir la tipografía tiene como área lo mismo que el diseño, 160.

Composición estable e equilibrada, cuyos conceptos se ven reforzados por el uso del color.

Un estudio sobre un teorema aplicado al diseño. Expresión gráfica y fundamento matemático del teorema.

GEOMETRÍA: rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en un plano o el espacio.

A lo largo de la historia, grandes matemáticos han hecho grandes aportes al diseño industrial, y a la sociedad en general.

PITÁGORAS: (500 a.C- 495 a.C) fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativo en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía.

Se le atribuye la teoría de la  significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos.

TEOREMA DE PITÁGORAS: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

                      

Así mismo, si a ese triángulo que tiene un ángulo recto de 90º, le pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos. (a+b=c)

CURIOSIDADES SOBRE EL TEOREMA

El teorema lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían anteriormente valores que correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación y fue Pitágoras el primero capaz de proporcionar una demostración lógrica de tal teorema.

DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA DEL TEOREMA

• Siendo ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en A, y AD, perpendicular al lado BC. Así mismo, los triángulos DBA y DAC son semejantes con el triángulo ABC y semejantes entre sí.

BA/BD=BC/BA,AC/CD=BC=AC. Aplicando el teorema del cateto, vemos que BA²=BD·BC, AC²=CD·BC, que al sumarlas, se obtiene, BA²+AC²=(BD+CD)·BC=BC·BC=BC², es decir, BA²+AC²=BC²

APLICACIONES MATEMÁTICAS

• Cálculo de la diagonal de un rectángulo o cuadrado
• Cálculo de un lado de un rombo
• Cálculo de la altura de un trapecio
• Cálculo del apotema de un héxagono

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS AL DISEÑO

Diseño industrial: es una profesión cuya actividad es la acción que busca crear o modificar objetos o ideas para  hacerlos útiles, prácticos o atractivos visualmente, con la intención de satisfacer las necesidades del ser humano, adaptando los objetos e ideas a la forma y funciones de éste, buscando un producto final innovador. Crean objetos basados en las propiedades de las figuras geométricas.

El teorema de Pitágoras puede ser aplicado a menudo en el día a día de un diseñador industrial.Por ejemplo, si ese diseñador es contratado para diseñar una escalera.Para el diseño de esa escalera, tendrá ciertos condicionantes para la altura/distancia que esa debe ser utilizada.

Si esa misma escalera debe de ponerse a una distancia de 2 metros con una altura de 10, tendrá que emplear el teorema para saber la altura del objeto que deberá crear.

                 

Trabajo de diseño gráfico sobre las formas planas, jugando con la composición de las mismas. Fundamento científico de las relaciones y propiedades de las mismas.

                Una figura plana es un elemento básico de la geometría. Un plano es una superficie llana que se extiende indefinidamente, es decir, tiene una longitud y una anchura infinitas, pero no espesor. Es una superficie tal que una línea recta que une dos puntos cualesquiera dentro de él se encuentran totalmente dentro de su superficie.

                Tenemos dos tipos de figuras planas:  los polígonos, donde todos sus lados son líneas rectas y el circulo. Los polígonos se clasifican por el número de lados.

                Puesto que para la realización de mi trabajo me he centrado en los ciruclos, me limitaré en explicar en esta memoria, las características de estos.

               

            El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por lo que a los efectos geométricos equivale a un polígono regular con infinitos lados.La circunferencia — que lo delimita, y que es el equivalente al perímetro. En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:

·      El centro — es el punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.

·      El radio — es la medida de distancia entre el centro y la circunferencia, es el equivalente al radio de los polígonos regulares, y también al apotema.

·      El diámetro — que es la línea que pasando por el centro une dos puntos opuestos de la circunferencia, y por lo tanto mide el doble del radio, es el equivalente a la diagonal.

·      La secante — que es la línea que incluye dos puntos de la circunferencia, sin pasar por el centro. El tramo entre esos puntos, es la cuerda.

·      La tangente — que es la una línea recta que toca solamente un punto de la circunferencia.

·      El arco — que es el tramo de la circunferencia comprendido entre dos puntos distintos de la misma.

·      La flecha — que es la una línea perpendicular al punto medio de la secante, que lo une con la circunferencia.

·     El sector — que es la superficie comprendida entre dos radios y el arco que delimitan.

                Anteriormente he hablado de las propiedades, si nos hablamos de los elementos que lo componen, nos encontramos con que el diámetro divide al círculo en dos semicírculos.La parte del círculo comprendida entre dos radios y un arco se llama sector circular. Si el sector circular comprende la cuarta parte del círculo, se llama cuadrante. La corona circular es el espacio comprendido entre dos circunferencias concéntricas (que tienen el mismo centro).

A pesar de su simpleza, las formas planas permiten trabajos complejos, tales como: funos decorativos, diseños gráficos o de moda o logotipos.

En el caso de mi diseño, cuya utilización puede ser variada por su finalidad meramente estética, podríamos encontrarlo desde en un logotipo hasta en un fundo de pantalla o diseño para una camiseta.  

  Jugando con una gamas de colores comprendida entre marrones y amarillos, asi como diferentes tonos de transparencia y opacidad y utilizando las propiedades y características de las figuas planas, el circulo en este caso, he realizado el seguiente diseño anteriormente explicado.

DISEÑO FINAL:

Estudio de diseño sobre las transformaciones geométricas básicas. Estudio de los grupos de transformaciones.

Una transformación geométrica, o simplemente una transformación, es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Como consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras. Las transformaciones más usuales son las traslaciones, rotaciones, simetrías y las homotecias. Todas ellas mantienen la forma de las figuras, pero pueden disminuir el tamaño y cambiar la figura de posición.

Las distintas transformaciones que he empleado y explicaré a continuación en esta memoria son un recurso empleado amenudo en el  mundo del diseño, logrando un alto atractivo visual.

En este caso y para la realización de este trabajo, me he sentrado los giros, la simetría y la proporción.

·         La igualdad entre dos razones recibe el nombre de proporción. En este diseño, la podemos atopar en los circulos verdes, cuyo primero es la 1/2 mayor del segundo, tal como el tercero al cuarto. Por lo tanto, el tercero es 1/3 mas pequeño que el primero.

·         Una simetría axial de eje, que es la que en este caso, he empleado, es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P' tal que la recta e es mediatriz del segmento PP'.

Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara.

·         Todos entendemos, gracias al lenguaje coloquial, que el movimiento, o rotación es un cambio en la posición de un objeto.

Rotación, de centro O y ángulo á, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto Pð tal que:

  

Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras.

Se dice que una figura tiene un centro de giro, O, de orden n (número natural mayor que 1) cuando se puede hacer coincidir consigo misma mediante giros de centro O y ángulos á·k/n (k = 1, 2,…n). Para k = n la figura da una vuelta completa y, por tanto, vuelve a la posición inicial.

Por ejemplo, el centro de un triángulo equilátero es un centro de giro de orden tres  porque se puede hacer coincidir la figura consigo misma haciéndola girar ángulos de 120º, 240º y 360º alrededor de él.

Para la realización del diseño, girando con un ángulo de 10º, lo que he hecho ha sido cambiar el centro de giro para uno de sus extremos.

 

DISEÑO FINAL: