Un trabajo sobre el equilibrio en la composición. Para ello se va a jugar con formas equivalentes y su ordenación. Cálculo integral para las áreas de las figuras.

- UN POCO DE HISTORIA

El primer uso de las integrales data del Antiguo Egipto (18oo a.C.) para el cálculo de volúmenes. Este concepto fundamental de las matemáticas fue perfilado y perfeccionado desde entonces por numeroros científicos. Sin embargo, los principales adelantos en integración llegaron a mediados del siglo XVII ( 1665) gracias a la elaboración del "teorema fundamental del cálculo" de Isaac Newton y Gottfried Leibniez. Este fallazgo fue individual, causando diversas disputas por la autoría del mismo. Finalmente, Cauchy, Riemman y Lebesgue formalizaron el sistema de cálculo de integrales empleando el uso de límites.

 -¿PARA QUÉ SE UTILIZAN LAS INTEGRALES?

Básicamente, las integrales se usan cotidianamente en el cálculo de áreas, longitudes de curvas u volúmenes de cuerpos de resolución.

-  EJEMPLO PRÁCTICO DEL USO DE INTEGRALES

 >Por geometría sencilla

Un coche se mueve variando su velocidad a lo largo del tiempo siguiendo la trayectoria de la figura:

La integral es el cálculo del área que existe entre la función ( la línea naranja) y el eje de abscisas ( el eje X) entre dos intervalos cualesquiera ( en este caso, de tiempo ), siendo el área que queda por encima ( del eje X) positiva, y por debajo negativa.Si tomamos un intervalo cuya área podemos calcular por geometría básica, por ejemplo el intervalo de tiempo (0,5) segundos, comprobamos que se forma un rectángulo entre esos intervalos ( azul). Si calculamos el área de ese rectángulo, estamos hallando la integral de la función naranja entre el intervalo ( 0, 5) segundos.

Sabiendo que la área del rectángulo es base por altura, observamos en la gráfica que la base es 5 y la altura (-8). Aplicando la fórmula A=B · h = 5 · (-8) = -40
Gracias a la integral, hemos deducida que el coche se ha movido 40 metros hacia atrás de su punto de origen en los primeros 5 segundos.

>Suma de rectángulos infinitos 

Para el cálculo del área de la figura anterior, no encontraremos una forma geométrica cuyo cálculo conozcamos y que se adapte fácilmente a la función. La alternativa que encontramos es, aun que no exacta, por ejemplo formar rectángulos ( cuya área conocemos) de diferentes tamaños que se adapten lo máximo posible a la gráfica.

De esta manera, podríamos hacer un cálculo aproximado del área, pero no sería exacto.  Si observamos la figura, cuantos más rectángulos utilicemos, más se aproximará el área de todos estos rectángulos al área de la gráfica. Si tomamos infinitos rectángulos, estaremos hallando la integral de esa función y por tanto su área.

Fórmula para el cálculo de integrales:

RESUMIENDO, UNA INTEGRAL ES LA SUMA DE LOS PUNTOS INFINITOS, DETERMINANDO EL ÁREA.

EXPLICACIÓN DEL TRABAJO DE DISEÑO

DEFINICIÓN DE LOGOTIPO ABSTRACTOS:

El diseñador tiene campo libre para estos tipos de logotipos. Puede diseñar una "forma estructural que cree una ilusión óptica variada". Alternativamente, puede emplear ese logotipo para transmitir la fuerza industrial del producto y la sensación de movimiento asociada con su función.

Su popularidad se debe en parte, por la naturaleza diversificada de muchas de las grandes corporaciones estadounidenses. Ese movimiento se vio reforzado gracias al éxito de los negocios japoneses en Occidente, pues los logotipos aparentemente abstractos de las empresas japonesas han funcionado bien en el mercado. 

La utilización de logotipos abstractos por parte de empresas triunfadoras y dinámicas los han puesto muy de moda. A menuda estos son considerados ahora como representativos de la quinta esencia del diseño contemporáneo de marcas y logotipos.

DISEÑO FINAL

La integral de uno de los rombos incorporados en el diseño del logotipo ha sido realizada anteriormente, dónde el resultado es 40. Multiplicando por los 4 rombos empleado, obtendremos que el área total de la imagen del logotipo es 160. Con el fin de lograr una composición equilibrada, el rectángulo dónde se puede subscribir la tipografía tiene como área lo mismo que el diseño, 160.

Composición estable e equilibrada, cuyos conceptos se ven reforzados por el uso del color.

Un estudio sobre un teorema aplicado al diseño. Expresión gráfica y fundamento matemático del teorema.

GEOMETRÍA: rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en un plano o el espacio.

A lo largo de la historia, grandes matemáticos han hecho grandes aportes al diseño industrial, y a la sociedad en general.

PITÁGORAS: (500 a.C- 495 a.C) fue un filósofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativo en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía.

Se le atribuye la teoría de la  significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos.

TEOREMA DE PITÁGORAS: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

                      

Así mismo, si a ese triángulo que tiene un ángulo recto de 90º, le pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos. (a+b=c)

CURIOSIDADES SOBRE EL TEOREMA

El teorema lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían anteriormente valores que correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación y fue Pitágoras el primero capaz de proporcionar una demostración lógrica de tal teorema.

DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA DEL TEOREMA

• Siendo ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en A, y AD, perpendicular al lado BC. Así mismo, los triángulos DBA y DAC son semejantes con el triángulo ABC y semejantes entre sí.

BA/BD=BC/BA,AC/CD=BC=AC. Aplicando el teorema del cateto, vemos que BA²=BD·BC, AC²=CD·BC, que al sumarlas, se obtiene, BA²+AC²=(BD+CD)·BC=BC·BC=BC², es decir, BA²+AC²=BC²

APLICACIONES MATEMÁTICAS

• Cálculo de la diagonal de un rectángulo o cuadrado
• Cálculo de un lado de un rombo
• Cálculo de la altura de un trapecio
• Cálculo del apotema de un héxagono

APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS AL DISEÑO

Diseño industrial: es una profesión cuya actividad es la acción que busca crear o modificar objetos o ideas para  hacerlos útiles, prácticos o atractivos visualmente, con la intención de satisfacer las necesidades del ser humano, adaptando los objetos e ideas a la forma y funciones de éste, buscando un producto final innovador. Crean objetos basados en las propiedades de las figuras geométricas.

El teorema de Pitágoras puede ser aplicado a menudo en el día a día de un diseñador industrial.Por ejemplo, si ese diseñador es contratado para diseñar una escalera.Para el diseño de esa escalera, tendrá ciertos condicionantes para la altura/distancia que esa debe ser utilizada.

Si esa misma escalera debe de ponerse a una distancia de 2 metros con una altura de 10, tendrá que emplear el teorema para saber la altura del objeto que deberá crear.